Théorème de gershgorin exemple

Maintenant, le théorème élargi devient clair: si les valeurs propres commencent dans les centres de disque, ne sautez pas autour et si les disques ne fusionnent pas à (alpha = 1 ), alors chaque Union doit contenir autant de valeurs propres que les disques ont contribué à cette Union. Le calcul des valeurs propres à partir d`une matrice donnée est simple et les implémentations existent dans de nombreuses bibliothèques. Pour le théorème, le concept d`un disque de Gershwin est pertinent. Mellendorf, S. Il y a une autre caractéristique gentille qui peut être dérivée du théorème quand nous avons disjoint des disques. Même la preuve est pathétiquement simple. Étant donné que les valeurs propres de B (t) {displaystyle B (t)} sont une fonction continue de t, pour toute valeur propre λ (t) {displaystyle lambda (t)} de B (t) {displaystyle B (t)} dans l`Union des disques k sa distance d (t) {displaystyle d (t)} de l`Union de l`autre n-k disques est également continu. Des instructions supplémentaires peuvent être extraites du théorème lorsque nous traitons avec disjoint Disc areas3. Le théorème du cercle de Gershwin est utile pour résoudre les équations matricielles de la forme ax = b pour x où b est un vecteur et A est une matrice avec un grand nombre de conditions. Annulation | x i | | x_i | donne | λ − a ii | ≤ r i | lambda-a_ {i i} | leqslant R_i. Il serait bon de réduire le nombre de conditions de A. mensuel 72, 292-295, 1965. Avant de regarder dans le théorème cependant, permettez-moi de rappeler au lecteur que les valeurs propres peuvent être complexes évalués (même pour une matrice qui ne contient que des nombres réels).

Théorème récurrent sur les déterminants. Il a été publié pour la première fois par le mathématicien soviétique Semyon Aronovich Gershwin en 1931. Pour les valeurs complexes, cela définit les disques précédemment discutés. Par conséquent, l`estimation vit dans le plan complexe, ce qui signifie que nous pouvons visualiser l`estimation dans un système de coordonnées 2D avec la partie réelle comme (x )-et la partie imaginaire comme l`axe (y ). Gradshteyn, I. Math. Let (A Dans mathbb{R} ^ {n times n} ) être une matrice carrée avec (n ) disques Gershwin (eqref{EQ: GershgorinCircle_Disc}). Dans ce cas, un vecteur propre aurait suffi.

Ensuite, chaque valeur propre de la matrice donnée se trouve à l`intérieur du disque de rayon $A + R $ centré à l`origine. Ma déclaration sur les parties réelles et imaginaires suit immédiatement. Pas de retour à la matrice (tilde{D} (alpha) ) dans l`exemple. Dans ce cas, (C_2 ) ne donne pas d`informations utiles du tout, car il ne développe pas le syndicat (C ) (si (C_2 ) serait manquant, rien ne change en ce qui concerne l`Union complète de tous les disques, i. Tout d`abord, deux approximations: avec l`aide de l`inégalité de triangle pour le (L_1 ) Norm2 et avec l`hypothèse que (u_1 ) est le plus grand composant. Dans ce cas, il peut être bon de donner au moins une certaine estimation de la plage dans laquelle les valeurs propres peuvent mentir. En résumé, avec l`aide du théorème du cercle de Gershwin, il est très facile de donner une estimation des valeurs propres de certaines matrices. Otd.

Nous savons maintenant que si un composant d`un vecteur propre est le maximum, la ligne correspondant à ce composant définit une plage dans laquelle la valeur propre doit se situer. San Diego, CA: Academic Press, pp. Scott, D. cette fois, nous avons un disque (centré à (d _ {33} = 9 + 10i )) qui ne partage pas une zone commune avec les autres disques. En utilisant l`inverse exact de A serait bien, mais trouver l`inverse d`une matrice est quelque chose que nous voulons éviter en raison de la dépense de calcul. Avec (alpha in [0; 1] ) Cela ajoute en douceur les éléments hors diagonale dans (D_2 ) à la matrice (D_1 ) contenant uniquement les éléments diagonaux en commençant par (tilde{D} (0) = operatorname{Diag} (D) = D_1 ) et se terminant par (tilde{D} (1) = D_1 + D_2 = D ). Geršgorin et ses cercles. Mais puisque nous ne savons pas quel composant sera le maximum la meilleure chose que nous pouvons faire est de supposer que chaque composant était le maximum dans un certain vecteur propre. Exploration des cercles de Gerschgorin et des ovales de Cassini. Avec d`autres mots: nous avons deux zones disjoints.

Bien sûr, le rectangle est une estimation encore plus inexacte que les disques sont déjà, mais les gammes sont plus faciles à manipuler (e.

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